명제

명제

명제란 논리학에서 참 또는 거짓으로 명확히 판별될 수 있는 문장을 의미

명제는 참과 거짓 중 하나의 진리값을 가지며, 논리학의 기본 단위로 사용

 

명제의 예

1. 참인 명제 : 서울은 대한민국의 수도이다, 2는 짝수이다.
2. 거짓인 명제 : 고양이는 포유류가 아니다, 5는 10보다 크다.

 

명제가 아닌 문장

참과 거짓을 명확히 판별하 수 없는 문장은 명제가 아니다.

ex) 오늘 날씨가 좋다.(주관적 판단이 개입), 열심히 공부해라.(명령문)

 

명제논리

명제 논리에서는 명제를 조합하여 복잡한 논리 구조를 만들 수 있다. 주요 논리 연산자는 다음과 같다.

• AND (논리곱, ∧): 두 명제가 모두 참일 때 참이다. 예: 𝑝∧𝑞
• OR (논리합, ∨): 두 명제 중 하나 이상이 참일 때 참이다. 예: 𝑝∨𝑞
• NOT (부정, ~): 명제가 거짓이면 참, 참이면 거짓이다. 예: ~𝑝
• IMPLICATION (함의, →): 첫 번째 명제가 참이고 두 번째 명제가 거짓일 때 거짓이고, 나머지 경우는 참이다. 예: 
  𝑝→𝑞
• BICONDITIONAL (동치, ↔): 두 명제가 모두 참이거나 모두 거짓일 때 참이다. 예: 𝑝↔𝑞

 

명제의 구성 요소

1. 명제 변수 : p, q, r등으로 표현되며, 각각 참 또는 거짓의 값을 가질 수 있다.
2. 논리 연산자 : 앞서 언급한 AND, OR, NOT, IMPLICATION, BICONDITIONAL등이 있다.
3. 괄호 : 연산의 우선순위를 명확히 하기 위해 사용한다.

 

진리표

명제 논리에서 각 명제의 조합에 따른 참과 거짓을 확인하기 위해 사용한다.

(진리표의 예시)

𝑝	𝑞	𝑝∧𝑞	𝑝→𝑞
T	T	T	T
T	F	F	F
F	T	F	T
F	F	F	T

 

진리표를 통해 명제와 명제식의 모든 경우의 수에 대해 논리 값을 분석할 수 있다.

명제는 논리학의 기초 개념으로, 수학, 컴퓨터 과학, 철학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

 

역이대우

논리학에서 명제의 진리값을 보존하는 개념

 

1. 명제: 𝑝→𝑞
2. 역: 𝑞→𝑝
3. 이: ~𝑝→~𝑞
4. 대우: ~𝑞→~𝑝

이 중 대우의 경우 원래 명제와 논리적으로 동치 관계이므로 명제가 참이면 대우도 참이 된다.

 

예시

𝑝 : X는 2다.

𝑞 : X의 제곱은 4다.

1. 명제: 𝑝→𝑞 X가 2면, X의 제곱은 4다, 𝑝가 참이라고 가정했을 때 𝑞가 참이므로 이는 참이다.
2. 역: 𝑞→𝑝 X의 제곱이 4이면, X는 2다 𝑞가 참이라고 가정했을 때 𝑝가 참인지는 알 수 없다. X는 -2가 될 수도 있기 때문
3. 이: ~𝑝→~𝑞 X가 2가 아니라면, X의 제곱은 4가 아니다. 마찬가지로 ~𝑞가 참인지는 알 수 없다.
4. 대우: ~𝑞→~𝑝 X의 제곱이 4가 아니라면, X는 2가 아니다. 제곱하여 4가 되는 수는 2와 -2 뿐이므로 X는 2가 될 수 없다.